Est-ce que 0 est premier dans un anneau ?

Zéro, la primalité et les anneaux : une perspective nuancée

La question de la primalité du zéro dans un anneau est une source fréquente de confusion. Il est crucial de distinguer la notion de nombre premier dans l'ensemble des entiers naturels de celle d'anneau premier en algèbre abstraite. Alors que zéro n'est pas un nombre premier au sens classique, la notion de "premier" appliquée à un anneau prend un tout autre sens, lié à l'idéal nul {0}.

Dans un anneau R, on ne parle pas de la primalité d'un élément individuel comme zéro, mais plutôt de la primalité de l'anneau lui-même. Cette primalité est intimement liée au comportement de l'idéal nul {0} vis-à-vis de la multiplication des idéaux.

Un anneau R est dit premier si son idéal nul {0} est un idéal premier au sens non commutatif. Cela signifie que si le produit de deux idéaux A et B de R est l'idéal nul (AB = {0}), alors au moins l'un de ces idéaux doit être l'idéal nul (A = {0} ou B = {0}). Autrement dit, l'anneau R empêche la "création" de zéro par la multiplication d'idéaux non nuls.

Il est important de souligner que cette définition ne concerne pas directement l'élément zéro, mais la façon dont l'idéal nul se comporte dans l'anneau. L'analogie avec les nombres premiers réside dans l'idée d'« indivisibilité » : un nombre premier ne peut être décomposé en un produit de facteurs non triviaux, tout comme un anneau premier empêche l'idéal nul d'être le produit d'idéaux non nuls.

Prenons l'exemple de l'anneau des entiers ℤ. L'idéal nul est {0}. Si le produit de deux idéaux nℤ et mℤ est l'idéal nul (nmℤ = {0}), cela implique que nm = 0, et donc que n=0 ou m=0. Par conséquent, nℤ = {0} ou mℤ = {0}. L'anneau ℤ est donc un anneau intègre, et par extension, un anneau premier.

En revanche, considérons l'anneau produit ℤ x ℤ. L'idéal nul est {(0,0)}. Prenons les idéaux A = {(n,0) | n ∈ ℤ} et B = {(0,m) | m ∈ ℤ}. Le produit AB = {(0,0)}, l'idéal nul, alors que ni A ni B ne sont l'idéal nul. L'anneau ℤ x ℤ n'est donc pas un anneau premier.

En conclusion, la question "Est-ce que 0 est premier dans un anneau ?" est mal posée. La primalité dans le contexte des anneaux est une propriété de l'anneau lui-même, liée au comportement de l'idéal nul, et non une propriété de l'élément zéro. La définition d'anneau premier capture l'idée d'une certaine "indivisibilité" au niveau des idéaux, offrant une perspective riche et nuancée en algèbre abstraite.