Comment dérive-t-on f ◦ g ?

La Dérivée d’une Fonction Composée : f ◦ g

Calculer la dérivée d’une fonction composée, telle que f ◦ g, requiert une méthode spécifique. Il ne s’agit pas simplement de dériver f et g séparément. La règle de la dérivée d’une fonction composée est fondamentale en calcul différentiel et permet de déterminer la variation instantanée de fonctions complexes.

La formule clé :

La dérivée de la fonction composée f ◦ g, notée (f ◦ g)'(x), est donnée par la règle de la chaîne :

*(f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x)**

Cette formule indique que la dérivée de la fonction composée est obtenue en multipliant :

• f'(g(x)) : la dérivée de f évaluée en g(x). C’est-à-dire que l’on remplace x par g(x) dans l’expression de la dérivée de f.
• g'(x) : la dérivée de la fonction g.

Importance de la condition g(x) ≠ 0

Il est crucial de noter que cette formule est valable uniquement si la fonction g(x) ne s’annule pas sur l’intervalle considéré. Si g(x) s’annule à un certain point, la dérivée de f ◦ g n’est pas définie en ce point. Cette condition est essentielle pour garantir la validité du résultat.

Exemple illustratif:

Considérons les fonctions f(x) = x² et g(x) = 3x + 1. Calculons la dérivée de f ◦ g.

1. Dérivée de f : f'(x) = 2x
2. Dérivée de g : g'(x) = 3
3. Application de la formule : (f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x) = f'(3x + 1) 3 = 2(3x + 1) * 3 = 6(3x + 1) = 18x + 6

La dérivée de la fonction composée f ◦ g est donc 18x + 6. Ce résultat est valable pour tous les valeurs de x, à condition que g(x) soit différente de 0, ce qui est vérifié ici.

Conclusion:

La règle de la dérivée d’une fonction composée, (f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x), est un outil fondamental en calcul. Comprendre cette règle et la condition d’existence (g(x) ≠ 0) est crucial pour calculer correctement la dérivée de fonctions complexes et pour analyser leur comportement. Elle permet de décomposer le calcul de la dérivée d’une fonction composée en opérations plus simples sur les fonctions f et g.