Comment trouver la fonction G ?

Déterminer la fonction G : une exploration au-delà de la composition

L’expression “(g ∘ f)(x)”, notée composition de g par f, ou “g rond f”, pose souvent problème lorsqu’il s’agit de déterminer l’une des fonctions composantes, sachant l’autre et le résultat de la composition. Alors que la composition elle-même est relativement simple à comprendre – on applique d’abord f à x, puis g au résultat – l’inversion de ce processus nécessite une approche plus méthodique. Cet article explore plusieurs stratégies pour déterminer la fonction G, en insistant sur la nécessité d’une analyse précise du problème posé.

Contrairement à une idée reçue, il n’existe pas de formule magique pour trouver G à partir de (g ∘ f) et f. La méthode dépend fortement de la nature des fonctions f et (g ∘ f). Explorons différentes situations:

1. Cas où f est injective et (g∘f) est explicite:

Si f est une fonction injective (bijective serait idéal), chaque élément de son ensemble d’arrivée correspond à un seul élément de son ensemble de départ. Cette propriété est cruciale. Supposons que nous connaissons (g ∘ f)(x) = h(x) et f(x) = k(x). Puisque (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = h(x), on peut poser y = f(x) = k(x). Si on arrive à exprimer x en fonction de y (grâce à l’injectivité de f), on peut substituer cette expression dans h(x) pour obtenir g(y) = h(expression en y). Cela nous donne une expression explicite de g.

Exemple:

Soit f(x) = 2x + 1 et (g ∘ f)(x) = x² + 2x + 2.

1. On pose y = f(x) = 2x + 1.
2. On résout pour x : x = (y – 1)/2.
3. On substitue x dans (g ∘ f)(x) : g(y) = ((y – 1)/2)² + 2((y – 1)/2) + 2.
4. On simplifie : g(y) = (y² – 2y + 1)/4 + y – 1 + 2 = (y² + 2y + 5)/4.
5. Donc g(x) = (x² + 2x + 5)/4.

2. Cas où f et (g ∘ f) sont définies par des ensembles de points:

Si f et (g ∘ f) sont données sous forme de tableaux de valeurs, une approche tabulaire est possible. On cherche les images de f(x) et les images correspondantes de (g ∘ f)(x). Si f(x₁) = f(x₂) alors forcément (g∘f)(x₁) = (g∘f)(x₂). Si plusieurs valeurs de x donnent la même image par f, alors on ne peut pas déterminer g de manière univoque.

3. Cas où la résolution est impossible analytiquement:

Dans certains cas, la détermination de g peut être impossible analytiquement, notamment si f n’est pas injective ou si la composition est trop complexe. Des méthodes numériques ou graphiques peuvent alors être envisagées, mais elles ne fourniront qu’une approximation de g.

Conclusion:

Trouver la fonction G à partir de la composition (g ∘ f) et de la fonction f est un problème qui nécessite une analyse cas par cas. La connaissance des propriétés de la fonction f, en particulier son injectivité, est essentielle. Bien que des méthodes algébriques soient souvent efficaces, des approches tabulaires ou numériques peuvent être nécessaires selon la complexité du problème. L’accent doit toujours être mis sur une analyse rigoureuse pour éviter des erreurs d’interprétation.

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