Comment calculer delta f ?

Au-delà du Discriminant : Calculer les Variations de f(x) et Interpréter Δf

L’article précédent abordait le calcul du discriminant Δ pour une fonction polynomiale du second degré, f(x) = ax² + bx + c, en le définissant comme Δ = b² – 4ac. Ce discriminant permet de déterminer le nombre de racines réelles de l’équation f(x) = 0. Cependant, l’expression “calculer delta f” est ambiguë. Elle pourrait se référer à plusieurs concepts. Cet article clarifie cette ambiguïté et explore différentes interprétations et méthodes de calcul.

1. Δf comme variation du discriminant :

L’expression “calculer delta f” pourrait signifier calculer la variation du discriminant Δ entre deux fonctions du second degré. Supposons que nous ayons deux fonctions :

• f₁(x) = a₁x² + b₁x + c₁ avec discriminant Δ₁ = b₁² – 4a₁c₁
• f₂(x) = a₂x² + b₂x + c₂ avec discriminant Δ₂ = b₂² – 4a₂c₂

Alors, la variation du discriminant, que nous pourrions noter Δf, serait simplement :

Δf = Δ₂ – Δ₁ = (b₂² – 4a₂c₂) – (b₁² – 4a₁c₁)

Cette variation nous renseigne sur l’évolution du nombre de solutions réelles entre les deux fonctions. Une variation de signe, par exemple, indique un changement dans le nombre de solutions réelles.

2. Δf comme variation de la fonction f(x) :

Une autre interprétation possible est de considérer Δf comme la variation de la valeur de la fonction f(x) entre deux points. Soient x₁ et x₂ deux points du domaine de définition de f(x). Alors :

Δf = f(x₂) – f(x₁)

Pour une fonction polynomiale du second degré, cela se traduit par :

Δf = (a(x₂)² + b(x₂) + c) – (a(x₁)² + b(x₁) + c) = a(x₂² – x₁²) + b(x₂ – x₁)

Ce calcul nous donne la variation de la fonction entre les points x₁ et x₂. Ce n’est pas directement lié au discriminant, mais donne des informations importantes sur le comportement de la fonction.

3. Δf dans le contexte des différences finies :

En analyse numérique, Δf peut représenter une différence finie. Par exemple, une différence finie centrée pour l’approximation de la dérivée de f(x) au point x utilise une expression impliquant des valeurs de f(x) en des points voisins. Le calcul précis dépendra de la méthode de différence finie utilisée.

Conclusion :

Le calcul de “delta f” est ambigu sans un contexte précis. Il peut représenter la variation du discriminant, la variation de la valeur de la fonction entre deux points, ou encore une approximation de la dérivée via les différences finies. Il est crucial de définir clairement ce que représente Δf avant d’entamer son calcul. L’article précédent a correctement défini le discriminant Δ, mais il est important de se rappeler que ce n’est qu’une partie d’une analyse plus complète du comportement d’une fonction polynomiale du second degré.