Quelles sont les formules de x1 et x2 ?

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Les racines x₁ et x₂ dun polynôme du second degré ax² + bx + c vérifient x₁ + x₂ = -b/a et x₁x₂ = c/a. Ces relations découlent de la factorisation P(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

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Formules de Résolution d'un Polynôme du Second Degré

Dans les équations mathématiques, les polynômes du second degré sont des expressions de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a est non nul. La résolution de ces équations est cruciale pour résoudre un large éventail de problèmes pratiques.

Les formules de x1 et x2, qui représentent les racines ou les solutions du polynôme, sont les suivantes :

x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a
x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

Ces formules sont dérivées de la factorisation de l'expression polynomiale en :

P(x) = a(x - x1)(x - x2)

où x1 et x2 sont les racines du polynôme.

Démonstration :

En développant le produit dans la factorisation, on obtient :

P(x) = ax² - ax1x - ax2x + x1x2a

En identifiant cette expression avec l'équation polynomiale d'origine, on a :

ax² + bx + c = ax² - ax1x - ax2x + x1x2a

En simplifiant et en regroupant les termes, on obtient :

b = -a(x1 + x2)
c = x1x2a

Par conséquent, on peut déduire que :

x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a

En substituant ces relations dans les formules de racines, on obtient les formules de x1 et x2 données ci-dessus.

Ces formules sont essentielles pour résoudre les polynômes du second degré. Elles permettent de trouver les racines de l'équation et donc de comprendre le comportement du polynôme. Ces formules trouvent de nombreuses applications dans divers domaines, notamment en physique, en ingénierie et en finance.