Comment savoir si un système admet des solutions ?

Démasquer l’Insolvabilité : Comment Déterminer l’Existence de Solutions dans un Système d’Équations Linéaires

Les systèmes d’équations linéaires sont omniprésents dans de nombreux domaines, de la physique à l’économie en passant par l’informatique. Résoudre ces systèmes revient à trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément toutes les équations. Cependant, un défi crucial réside dans la possibilité qu’un système ne possède aucune solution. Comment, alors, identifier ces systèmes “insolubles” sans se lancer dans des calculs potentiellement inutiles ?

La règle d’or, simple mais puissante, réside dans l’observation suivante : un système d’équations linéaires n’admet aucune solution si, par manipulation algébrique (combinaison linéaire des équations), on parvient à une équation de la forme 0 = k, où k est une constante non nulle.

Décryptage de la Règle :

Cette règle se comprend aisément. Si, en manipulant légitimement les équations du système (additionner des équations, multiplier une équation par une constante), on obtient une contradiction mathématique, cela signifie que le système de départ était intrinsèquement incohérent. Il n’existe aucune combinaison de valeurs pour les variables qui puisse satisfaire toutes les équations simultanément.

Illustration Pratique :

Considérons le système suivant :

x + y = 3
x + y = 5

Si nous soustrayons la première équation de la seconde, nous obtenons :

(x + y) - (x + y) = 5 - 3
0 = 2

Nous sommes arrivés à une affirmation manifestement fausse. Par conséquent, ce système n’a aucune solution. Il est impossible de trouver des valeurs pour x et y qui satisfont les deux équations simultanément. Géométriquement, cela correspond à deux droites parallèles qui ne se croisent jamais.

Quand le Silence est un Signe : L’Existence d’Au Moins Une Solution

À l’inverse, si l’on ne parvient pas à obtenir une équation de la forme 0 = k (k ≠ 0), le système possède au moins une solution. Cette solution peut être unique ou multiple (infinité de solutions).

Pourquoi “au moins une” ?

Simplement parce qu’il est possible d’avoir un système où une ou plusieurs équations sont redondantes (c’est-à-dire qu’elles peuvent être déduites des autres). Dans ce cas, le système aura une infinité de solutions. Par exemple :

x + y = 2
2x + 2y = 4

La deuxième équation est simplement le double de la première. Le système admet une infinité de solutions, toutes les paires (x, y) qui satisfont x + y = 2.

Méthodes de Détection :

En pratique, la méthode la plus courante pour déterminer l’existence de solutions est d’utiliser l’élimination de Gauss (ou la méthode du pivot de Gauss) ou des techniques similaires. Ces méthodes permettent de transformer le système initial en un système échelonné, où il est facile d’identifier d’éventuelles contradictions de la forme 0 = k. L’étude du rang de la matrice du système et de la matrice augmentée peut également révéler si le système admet des solutions.

En Résumé :

• Absence de solution (système incompatible) : On peut réduire le système à une équation de la forme 0 = k (où k est une constante non nulle).
• Présence d’au moins une solution (système compatible) : On ne peut pas réduire le système à une contradiction de la forme 0 = k. Il peut y avoir une solution unique ou une infinité de solutions.

Comprendre cette règle simple permet d’économiser du temps et des efforts considérables en évitant de chercher des solutions là où il n’y en a pas. Avant de vous lancer dans des calculs complexes, prenez le temps de vérifier si votre système d’équations linéaires est soluble !