Quand une fonction est une application ?

La Distinction Cruciale : Fonction vs. Application

En mathématiques, les termes "fonction" et "application" sont souvent utilisés de manière interchangeable dans le langage courant. Cependant, une nuance précise les distingue, une nuance essentielle à comprendre pour une manipulation rigoureuse des concepts mathématiques. Cet article se propose de clarifier cette distinction.

Une question de définition : Le domaine de définition.

La clé réside dans le domaine de définition. Considérons deux ensembles, E et F. Une fonction f de E vers F établit une correspondance entre certains éléments de E et des éléments de F. L'ensemble des éléments de E auxquels f associe une image dans F est appelé le domaine de définition de f, que l'on note Dom(f).

Une application, en revanche, est un cas particulier de fonction. C'est une fonction f de E vers F pour laquelle le domaine de définition, Dom(f), est égal à l'ensemble de départ E tout entier. Autrement dit, chaque élément de l'ensemble E doit avoir une image dans l'ensemble F par la fonction f.

En termes plus simples : Pas de laissés-pour-compte !

On peut imaginer l'ensemble E comme un groupe de personnes et l'ensemble F comme un ensemble de couleurs. Une fonction attribue une couleur (provenant de F) à certaines personnes (provenant de E). Si c'est une simple fonction, certaines personnes peuvent ne pas se voir attribuer de couleur. Mais si c'est une application, chaque personne doit avoir une couleur.

Un exemple pour illustrer.

Reprenons l'exemple donné. Soit E = {1, 2, 3, 4} et F = {a, b, c}.

• Exemple 1 : Fonction mais pas application.

  Définissons une fonction f de E vers F de la manière suivante :

  • f(1) = a
  • f(2) = b
  • f(3) = c

  Ici, l'élément 4 de E n'a pas d'image définie par f. Le domaine de définition est donc Dom(f) = {1, 2, 3}, ce qui est différent de E = {1, 2, 3, 4}. Par conséquent, f est une fonction, mais pas une application.

• Exemple 2 : Application.

  Définissons une fonction g de E vers F de la manière suivante :

  • g(1) = a
  • g(2) = b
  • g(3) = c
  • g(4) = a

  Dans ce cas, chaque élément de E a une image dans F. Le domaine de définition est Dom(g) = {1, 2, 3, 4} = E. Par conséquent, g est une application.

Pourquoi cette distinction est-elle importante ?

Cette distinction, bien que subtile, est fondamentale car de nombreux théorèmes et propriétés en mathématiques ne s'appliquent qu'aux applications, et non à toutes les fonctions. Ignorer cette nuance peut mener à des erreurs et à des conclusions incorrectes.

En conclusion :

Une application est une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l'ensemble de départ. Chaque élément de l'ensemble de départ doit avoir une image dans l'ensemble d'arrivée. Cette condition, bien que simple, est cruciale pour la rigueur mathématique et l'application correcte de certains théorèmes. Il est donc important de bien comprendre cette différence entre fonction et application.