Comment trouver la valeur exacte de cos 45 ?

Décryptage du cosinus de 45° : bien plus qu'une simple approximation

Le cosinus de 45°, une valeur fréquemment rencontrée en trigonométrie, est souvent présenté comme une simple approximation décimale : 0,7071. Cependant, comprendre sa valeur exacte permet d'appréhender plus profondément les fondements de la géométrie et de la trigonométrie. Découvrons ensemble comment déterminer cette valeur et pourquoi elle est si particulière.

La clé réside dans la considération d'un triangle rectangle isocèle. Imaginez un carré parfait de côté 1. En traçant sa diagonale, nous créons deux triangles rectangles isocèles. Chaque triangle possède deux côtés égaux de longueur 1 (les côtés du carré) et une hypoténuse, la diagonale du carré.

Selon le théorème de Pythagore, la longueur de l'hypoténuse (que nous appellerons h) est liée aux longueurs des côtés par la formule : h² = 1² + 1² = 2. Donc, h = √2.

Maintenant, rappelons la définition du cosinus dans un triangle rectangle : cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse. Dans notre triangle rectangle isocèle, l'angle θ est de 45°, le côté adjacent à cet angle a une longueur de 1, et l'hypoténuse a une longueur de √2. Par conséquent :

cos(45°) = 1 / √2

Cette valeur, 1/√2, est la valeur exacte du cosinus de 45°. Il est important de noter qu'il s'agit d'un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être exprimé sous forme d'une fraction simple de deux entiers. Son développement décimal est infini et non périodique. L'approximation 0,7071 est simplement une troncature de ce développement décimal, utile pour les calculs approximatifs mais imprécise pour des applications nécessitant une grande précision.

Pour une écriture plus "propre", on rationalise souvent le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par √2 :

cos(45°) = (1 √2) / (√2 √2) = √2 / 2

Ainsi, la valeur exacte de cos(45°) peut être exprimée de deux manières équivalentes : 1/√2 ou √2/2. Ces deux formes sont rigoureusement identiques et permettent de choisir celle qui convient le mieux au contexte du calcul. Il est crucial de privilégier ces formes exactes plutôt que l'approximation décimale, surtout lors de calculs intermédiaires, afin d'éviter l'accumulation d'erreurs d'arrondi. Comprendre la dérivation géométrique de cette valeur permet de mieux appréhender les liens fondamentaux entre la géométrie et la trigonométrie.