Comment calculer la composition de deux fonctions ?

Calcul de la Composition de Deux Fonctions

Définition

La composition de deux fonctions, notée f ∘ g, est une nouvelle fonction définie par :

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Règle de Dérivation

La dérivée de la composition de deux fonctions f et g est donnée par :

(f ∘ g)'(x) = g'(x) × f'(g(x))

Règle des Limites

Soient f et g deux fonctions et a un nombre réel. Si la limite de g(x) lorsque x tend vers a existe et est égale à b, alors la limite de f(g(x)) lorsque x tend vers a existe et est égale à :

lim_(x->a) f(g(x)) = lim_(x->b) f(x)

Exercices

1. Calculer (f ∘ g)(x) si f(x) = x² et g(x) = x + 1.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))
         = f(x + 1)
         = (x + 1)²

2. Calculer la dérivée de h(x) = (sin x) ∘ (x²).

h'(x) = (sin x)' ∘ (x²) × (x²)
     = cos x ∘ x² × 2x
     = 2x cos(x²)

3. Calculer lim_(x->π/2) (tan x) ∘ (cos x).

La limite de cos x lorsque x tend vers π/2 est 0. Par conséquent, la limite de (tan x) ∘ (cos x) lorsque x tend vers π/2 est égale à :

lim_(x->π/2) (tan x) ∘ (cos x) = lim_(x->0) tan x = ∞

Conclusion

La composition de fonctions est un outil puissant utilisé pour construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes. Les règles de dérivation et de limites pour les fonctions composées sont essentielles pour l'analyse et la résolution de problèmes mathématiques.